Rumus Trigonometri Sudut Ganda dan Sudut Tengahan

A. Rumus Sudut Ganda

Yang dimaksud dengan sudut ganda adalah sudut 2α. Untuk mendapatkan rumus trigonometri untuk sin 2α, cos 2α dan tan 2α, diperoleh dari rumus-rumus sebelumnya, yakni:

sin 2α = 2.sin α.cos α

cos 2α = cos²α − sin²α atau cos 2α = 1 – 2.sin²α atau cos 2α = 2.cos²α − 1

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
01. Tentukanlah nilai dari :
(a) 4 . cos² 67,5^o − 4 . sin² 67,5o + 6√2
(b) 12√3 cos² 15^o − 6√3
Jawab


02. Jika tan α = ½√3 dan α sudut lancip, maka tentukanlah nilai sin 2α


03. Buktikanlah bahwa

jawab



05. Jika α sudut lancip yang memenuhi 2.cos² α = 1 + 2.sin 2α , maka tentukanlah nilai tan 4α
Jawab

B. Rumus Sudut Tengahan

Yang dimaksud dengan sudut tengahan adalah sudut ½α. Untuk mendapatkan rumus trigonometri untuk sin ½α, cos ½α dan tan ½α, diperoleh dari rumus-rumus sebagai barikut:

 atau

atau

Untuk lebih jelasnya, pelajarilah contoh soal berikut ini:
06. Tentukanlah nilai dari :
(a) cos 112,5^o
(b) tan 22,5^o
Jawab



07. Jika cos α = 7/25 dan 270^o < α < 360^o maka tentukanlah nilai tan ½ α = …

Dari uraian di atas dapat pula diturunkan Rumus trigonometri untuk Sudut Yang Lain, yakni :
sin 3α = sin (2α + α)
= sin² α.cosα + cos²α.sinα
= (2sinα.cosα).cosα + (1 – 2.sin²α).sinα
= 2.sinα.cos² α + sinα – 2.sin³α
= 2.sinα.(1 – sin²α) + sinα – 2.sin³α
= 2.sinα – 2sin³α + sinα – 2.sin³α
= −4.sin³α + 3.sin α

cos 3α = cos (2α + α)
= cos²α.cosα – sin²α.sinα
= (2cos²α – 1)cosα – 2.sinα.cosα.sinα
= 2.cos³α – cosα – 2.sin²α.cosα
= 2.cos³α – cosα – 2.(1 – cos²α)cosα
= 2.cos³α – cosα – 2.cosα + 2cos³α
= 4.cos³α − 3.cos α

Selain dua rumus di atas, dengan cara yang sama dapat juga diturunkan rumus-rumus yang lain