Hiperbola

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik-titik yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap.
Kedua titik tertentu itu dinamakan fokus.

Terdapat dua macam bentuk hiperbola,
yakni
1. hiperbola horizontal
2. hiperbola vertical.

Secara lebih rinci akan dijelaskan menjadi empat bagian. (Rangkuman rumus berada paling bawah sendiri)

1. Hiperbola Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:





Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0)
Sumbu utama sumbu-X dan sumbu sekawan sumbu-Y
Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c² =  a² + b²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis amsistot dirumuskan:


Panjang Latus rectum:


2. Hiperbola Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:



Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di B1(0, b), dan B2(0, –b)
Sumbu utama sumbu-Y dan sumbu sekawan sumbu-X
Titik fokus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c² =  b² + a²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis amsistot dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

01.Tentukan titik puncak, titik focus, persamaan garis asimstot, eksentrisitas hiperbola, dan panjang Latus Rectum dari elips 9x² – 16y² = 400
Jawab:

a = 4, b = 3.

hiperbola berbentuk Horizontal dengan Pusat O(0, 0)
c² =a² + b²

c² = 4² + 3²
c² = 16 + 9 = 25
c = 5
Maka
•Koordinat titik puncaknya di A1 (4,0),A2 (-4,0).
•Titik focus di F1 (5,0), dan F2 (-5,0).
•Persamaan garis asimstot dirumuskan y = ¾ x dan y = -¾ x
•Nilai eksentrisitas hiperbola dinyatakan dengan e =5/4
•Panjang Latus Rectum adalah (2(3)² )/4 sehingga latus rektumnya 18/4

02. Tentukan persamaan hiperbola jika puncaknya di titik (4,0) dan (-4,0) serta panjang laktus rektum 16/3 satuan
Jawab:
Berdasarkan titik puncaknya, hiperbola ini berbentuk horizontal dengan puncak (4,0) dan (-4,0) maka a = 4
panjang laktus rektum 16/3 sehingga:

Hiperbola ini mempunyai persamaan bentuk Umum

3. Hiperbola Horizontal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:

Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q)
Sumbu utama adalah y = q dan sumbu sekawan adalah x = p
Titik fokus di F1(c + p, q) dan F2(–c + p, q) dimana c² =  a² + b²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis asimstot dirumuskan:


Panjang Latus rectum:


4. Hiperbola Vertikal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di  B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Sumbu utama adalah x = p dan sumbu sekawan adalah y = q
Titik fokus di F1(p, c + q) dan F2(p, –c + q) dimana c² =  b² + a²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis asimstot dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:
03. Diketahui hiperbola -9x² + 16y² - 18x + 96y - 9 = 0, Tentukanlah puncak dan fokus!
Jawab:

Hiperbola berbentuk Vertikal dengan Pusat M(-1, -3) dimana a = 4, b = 3
c² =  b² + a²
c² = 16 + 9 = 25
c = 5
Maka 

•Koordinat titik puncaknya di B1 (-1,0), dan B2 (-1,-6).
•Titik focus di F1 (-1,2), dan F2 (-1,8).

04. Tentukan persamaan hiperbola dengan pusat di (–5, 4), puncaknya di (–11, 4) dan salah satu asimtotnya adalah 4x – 3y + 32 = 0

Jadi Persamaannya

RANGKUMAN