Elips

Ellips adalah tempat kedudukan titik-titik yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu selalu tetap.
Kedua titik tertentu itu dinamakan fokus.

Terdapat dua macam bentuk elips,
yakni
1. Ellips horizontal
2. Ellips vertical.

Secara lebih rinci akan dijelaskan menjadi empat bagian. (Rangkuman rumus berada paling bawah sendiri)

1. Ellips Horizontal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:

Dimana a > b.



Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c, 0) dan F2(–c, 0) dimana c² =  a² – b²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:


2. Ellips Vertikal dengan Pusat O(0, 0)

Bentuk Umum:

dimana a < b

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di A1(a, 0), A2(–a, 0), B1(0, b), dan B2(0, –b)
Panjang sumbu mayor = 2b dan Panjang sumbu minor = 2a
Titik fokus di F1(0, c) dan F2(0, –c) dimana c² =  b² – a²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:

01.Tentukan titik puncak, panjang sumbu mayor, sumbu minor, titik focus, persamaan garis direktriks, eksentrisitas elips, dan panjang Latus Rectum dari elips 16x² + 25y² = 400
Jawab:

a = 5, b = 4.

Karena a > b, maka elips berbentuk Horizontal dengan Pusat O(0, 0)
c² =a²-b²

c² = 5²- 4²
c² = 25 - 16 = 9
c = 3
Maka
•Koordinat titik puncaknya di A1 (4,0),A2 (-4,0), B1 (0,5), dan B2 (0,-5).
•Panjang sumbu mayor = 10 dan Panjang sumbu minor = 8
•Titik focus di F1 (3,0), dan F2 (-3,0).
•Persamaan garis direktriks dirumuskan x = 25/3 dan x = -25/3
•Nilai eksentrisitas elips dinyatakan dengan e=3/5
•Panjang Latus Rectum adalah (2(4)² )/5 sehingga latus rektumnya 32/5

02. Tentukan persamaan elips jika pusatnya di (0, 0), salah satu fokusnya di (0, 6) dan salah satu puncaknya di titik (0, 8)
Jawab:
Berdasarkan titik fokusnya, Elips ini berbentuk vertikal dengan fokus F(0, 6) maka c=6
b=8, Maka berlaku c² =  b² – a². Sehingga
a² = b² - c²
a² = 8² - 6²
a² = 64 - 36 = 28
Elips ini mempunyai persamaan bentuk Umum

3. Ellips Horizontal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:


Dimana a > b.

Unsur-unsurnya :
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q), B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Panjang sumbu mayor = 2a dan Panjang sumbu minor = 2b
Titik fokus di F1(c + p, q) dan F2(–c + p, q) dimana c² =  a² – b²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:


Panjang Latus rectum:


4. Ellips Vertikal dengan Pusat M(p, q)

Bentuk Umum:


dimana a < b

Unsur-unsurnya:
Koordinat titik puncaknya di A1(a + p, q), A2(–a + p, q), B1(p, b + q), dan B2(p, –b + q)
Panjang sumbu mayor = 2b dan Panjang sumbu minor = 2a
Titik fokus di F1(p, c + q) dan F2(p, –c + q) dimana c² =  b² – a²
Nilai eksentrisitasnya

Persamaan garis direktriks dirumuskan:

Panjang Latus rectum:

Untuk lebih jelasnya, ikutilah contoh soal berikut ini:
03. Diketahui elips 25x² + 16y² - 100x + 96y - 156 = 0, Tentukanlah Unsur-unsurnya!
Jawab:

a = 4, b = 5. Karena a < b, maka elips berbentuk Vertikal dengan Pusat M(2, -3)
c² =  b² – a²
c² = 25 - 16 = 9
c=3
Maka 

•Koordinat titik puncaknya di A1 (6,-3),A2 (-2,-3), B1 (2,2), dan B2 (2,8).
•Panjang sumbu mayor = 10 dan Panjang sumbu minor = 8
•Titik focus di F1 (2,0), dan F2 (2,-6).
•Persamaan garis direktriks dirumuskan 

•Nilai eksentrisitas elips dinyatakan dengan e=3/5
•Panjang Latus Rectum adalah (2(4)² )/5 sehingga latus rektumnya 32/5

04. Diketahui koordinat fokus elips adalah F1(8, –1) dan F2 (–4, –1) serta salah satu koordinat ujung sumbu minor adalah (2, 7). Tentukanlah persamaan elips tersebut.

Jadi Persamaannya

RANGKUMAN