Rumus Perbandingan Trigonometri di Semua Kuadran

Dalam pembahasan sebelumnya, kita telah melihat nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa yang besarnya kurang dari 90^o (dinamakan sudut lancip).
Selanjutnya akan dibahas nilai perbandingan trigonometri untuk sudut sudut istimewa yang besarnya lebih dari 90^o.
Yang dimaksud sudut istimewa yaitu sudut 0^o dan sudut kelipatan 30^o dan 45^o .

Dalam interval 0^o≤ x ≤ 360^o sudut-sudut tersebut dikelompokkan atas empat kuadran, yaitu :

Kuadran I , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 0^o sampai 90^o (dinamakan sudut lancip)
Kuadran II , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 90^o sampai 180^o (dinamakan sudut tumpul)
Kuadran III , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 180^o sampai 270^o
Kuadran IV , yakni sudut-sudut yang besarnya antara 270^o sampai 360^o

Nilai perbandingan trigonometri untuk sudut-sudut istimewa dapat dikelompokkan menjadi dua bagian, yakni :

- Dengan menggunakan aturan pelurus (180^o – α), (180^o + α ) dan (360^o – α )
- dengan menggunakan aturan penyiku (90^o + α ), (270^o – α ) dan (270^o + α ).

Untuk nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut istimewa dengan menggunakan aturan pelurus untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 0^o≤ x ≤ 360^o berlaku hubungan :

sin (180 – α) = sin α sin (180 + α) = –sin α sin (360 – α) = –sin α

cos (180 – α) = –cos α cos (180 + α) = –cos α cos (360 – α) = cos α

tan (180 – α) = –tan α tan (180 + α) = tan α tan (360 – α) = –tan α

Disamping itu, dengan menggunakan aturan penyiku terdapat pula hubungan antara nilai-nilai perbandingan trigonometri di berbagai kuadran untuk sudut-sudut istimewa dalam interval 0^o≤ x ≤ 360^o berlaku hubungan :

sin (90 – α) = cos α sin (90 + α) = cos α

cos (90 – α) = sin α cos (90 + α) = –sin α

tan (90 – α) = cot α tan (90 + α) = –cot α

sin (270 – α) = –cos α sin (270 + α) = –cos α

cos (270 – α) = –sin α cos (270 + α) = sin α

tan (270 – α) = cot α tan (270 + α) = –cot α

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut :

01. Tentukanlah nilai dari :
(a) cos 150^o (b) sin 225^o
(c) tan 240^o

Jawab

03. Tentukanlah nilai dari :

Aturan lain yang diambil dari sudut (360 – α) adalah aturan sudut negatif. Dimana aturan yang dipakai adalah sebagai berikut:

sin (360 – α) = –sin α cos (360 – α) = cos α tan (360 – α) = –tan α

sin (0 – α) = –sin α cos (0 – α) = cos α tan (0 – α) = –tan α

sin (–α) = –sin α cos (–α) = cos α tan (–α) = –tan α

Untuk menentukan nilai perbandingan trigonometri terhadap sudut-sudut yang besarnya lebih dari 360^o maka digunakanlah aturan periodisitas trigonometri.

Nilai sinus dan cosinus akan berulang setiap kelipatan 360^o sedangkan nilai tangens akan berulang setiap 180^o. ini berati sin 30^o = sin 390^o = sin 750^o dan seterusnya. Sehingga dapat dirumuskan :

sin (k.360 + α ) = sin α

cos (k.360 + α ) = cos α

tan (k.180 + α ) = tan α

dimana k adalah bilangan bulat

Namun dalam praktiknya aturan periodisitas di atas dapat disederhanakan dengan rumusan :

sin (α – k.360) = sin α
cos (α – k.360) = cos α
tan (α – k.360) = tan α

dimana k adalah bilangan asli dan α ≥ k.360^o

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan pada contoh soal berikut :

04. Tentukanlah nilai dari