Nilai Optimum Fungsi Sasaran

Suatu fungsi sasaran dalam program linier dengan dua variabel dapat dinyatakan dalam bentuk : f(x, y) = ax + by dimana a dan b anggota bilangan real. Fungsi objektif ini dimaksudkan untuk menentukan nilai optimum dalam suatu soal cerita. Sedangkan nilai optimum itu sendiri terdiri dari nilai maksimum (misalnya menyangkut laba, pendapatan, dan lain-lain) dan nilai minimum (misalnya menyangkut biaya, kerugian, dan lain-lain).

Nilai optimum suatu fungsi sasaran dapat ditentukan dengan menggunakan titik uji, yaitu titik potong dua garis batas dalam daerah penyelesaian.

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh-contoh soal berikut ini :

01. Tentukanlah nilai maksimum dari f(x,y) = 5x + 3y untuk sistem pertidaksamaan :
x + y ≤ 6
2x + 3y ≤ 15
x ≥ 0
y ≥ 0
Jawab
Mula mula kita gambar terlebih dahulu daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan di atas

Himpunan penyelesaiannya adalah daerah segiempat yang bebas dari arsiran, dan titik-titik ujinya adalah A, B dan C

Titik A koordinatnya adalah A(0, 5)

Titik C koordinatnya adalah C(6, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena x + y = 6 maka x + 3 = 6, sehingga x = 3

Jadi koordinat titik B adalah B(3, 3)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi optimum yakni f(x,y) = 5x + 3y, sehingga diperoleh :

A(0, 5) → f(A) = 5(0) + 3(5) = 15

B(3, 3) → f(B) = 5(3) + 3(3) = 24

C(6, 0) → f(C) = 5(6) + 3(0) = 30

Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 30

02. Tentukanlah nilai minimum dari f(x,y) = 4x + 3y pada daerah yang diarsir berikut ini

Garis g melalui dua titik yakni (0, 6) dan (1, 0) sehingga persamaannya

6x + y = 6 ………………. (1)

Garis h melalui dua titik yakni (0, 4) dan (2, 0) sehingga persamaannya

4x + 2y = 8

2x + y = 4 ………………. (2)

Titik-titik uji yaitu A, B, dan C. Sehingga

Titik A koordinatnya adalah A(0, 6)

Titik C koordinatnya adalah C(2, 0)

Sedangkan titik B merupakan perpotongan garis g dan h, diperoleh :

karena 2x + y = 4 maka 2(1/2) + y = 4, sehingga 1 + y = 4 , y = 3

Jadi koordinat titik B adalah B(1/2, 3)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f(x, y) = 4x + 3y

A(0, 6)    → f(A) = 4(0) + 3(6) = 18

B(1/2, 3) → f(B) = 4(1/2) + 3(3) = 11

C(2, 0)    → f(C) = 4(2) + 3(0) = 8

Jadi nilai minimum untuk fungsi ini, yaitu 8

 03. Nilai maksimum dari daerah yang diarsir pada gambar di samping untuk fungsi sasaran f(x,y) = 4x + 10y adalah ….

Garis g melalui dua titik (0, 4) dan (–2, 0) , yakni

4x + (–2)y = –8

2x – y = –4 ................................................. (1)

Garis h melalui dua titik (0, –2) dan (2, 0), yakni

(–2)x + 2y = –4

x – y = 2 ..................................................... (2)

Garis j melalui dua titik (0, 6) dan (6, 0), yakni

6x + 6y = 36

x + y = 6 ..................................................... (3)

Titik-titik uji yaitu A, B, C dan D. Sehingga

Titik A koordinatnya adalah A(0, 4)

Titik D koordinatnya adalah D(2, 0)

Titik B merupakan perpotongan garis g dan j, diperoleh :

karena x + y = 6 maka 3/2 + y = 6, sehingga y = 9/2

Jadi koordinat titik B adalah B(3/2, 9/2)

Titik C merupakan perpotongan garis h dan j, diperoleh :

karena x + y = 6 maka 4 + y = 6, sehingga y = 2

Jadi koordinat titik C adalah C(4, 2)

Selanjutnya titik-titik tersebut disubstitusikan ke dalam fungsi f(x,y) = 4x + 10y,

A(0, 4)       → f(A) = 4(0) + 10(4) = 40

B(3/2, 9/2) → f(B) = 4(3/2) + 10(9/2) = 51

C(4, 2)       → f(C) = 4(4) + 10(2) = 36

D(2, 0)       → f(D) = 4(2) + 10(0) = 8

Jadi nilai maksimum untuk fungsi ini, yaitu 51