Macam-Macam Transformasi (Translasi dan Rotasi)

1. Transformasi Pergeseran (Translasi)

Segitiga ABC pada gambar di samping digeser menjadi segitiga A’B’C’. Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut digeser dengan jarak dan arah yang tetap sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.
 
Transformasi yang berciri demikian dinamakan pergeseran atau translasi.

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

01. Diketahui dua titik A(–2, 3) dan B(5, 1). Tentukanlah dan gambarkanlah bayangan ruas garis AB jika ditranslasikan sejauh

Jawab
A(–2, 3) → A’(–2 + 3, 3 + 4) → A’(1, 7)
B(5, 1)   → B’(5 + 3, 1 + 4)   → B’(8, 5)
Atau dengan matriks

Translasi diatas dapat digambarkan sebagai berikut:

02. Diketahui titik A(3, -5) digeser sehingga diperoleh bayangan A’(7, 2). Dengan translasi yang sama titik B(-4, -8) akan bergeser menjadi B’. Tentukan koordinat B’
Jawab

Jadi koordinat titik B’(0, –1)

2. Transformasi Perputaran (Rotasi)

Segitiga ABC pada gambar berikut ini diputar dengan pusat putaran di O(0, 0) dan sudut putar sejauh
α, sehingga menjadi segitiga A’B’C’. Artinya setiap titik pada segitiga ABC tersebut diputar denganpusat dan sudut putar yang tetap sehingga diperoleh segitiga A’B’C’.

Transformasi yang berciri demikian dinamakan perputaran atau rotasi.

Untuk α positif, maka perputarannya berlawanan arah jarum jam. Sedangkan untuk α negatif, maka perputarannya searah jarum jam
Sebuah titik P(x,y) diputar dengan pusat O(0, 0) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana:
x’ = x.cos α – y.sin α
y’ = x.sin α + y.cos α

Walaupun rumus di atas diturunkan dengan mengambil α sudut positip, tetapi dapat ditunjukkan bahwa berlaku untuk semua α ( α positip atau α negatif)

Jika pusat putaran di A(h, k) dan sudut putaran sejauh α , maka rumus menentukan bayangannya dapat diturunkan dengan menggeser titik pusat O(0, 0) sejauh

Sehingga jika titik P(x,y) diputar dengan pusat A(h, k) sejauh α akan diperoleh bayangan P’(x’,y’) dimana :
x’– h = (x – h)cos α – (y – k)sin α
y’– k = (x – h) sin α + (y – k)cos α

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

03. Tentukanlah bayangan titik A(6, –4) jika diputar sejauh 1350 dengan pusat O(0, 0).
Jawab

04. Diketahui segitiga ABC dimana titik A(6, 2), B(1, 3) dan C(4, 6) diputar sejauh 900 dengan pusat O(0, 0). Tentukanlah koordinat titik bayangan segitiga tersebut

Jawab

Jadi titiknya A’(–2, 6) , B’(–3, 1) dan C’(–6, 4)
Gambarnya

05. Sebuah titik A(x, y) dirotasikan dengan pusat O(0, 0) sejauh 45^o, sehingga diperoleh bayangan A’(2√2 , 6√2 ). Tentukanlah koordinat titik A

Jawab

Bayangan titik A(x, y) adalah A’(2 2 , 6 2 ) dengan α = 45^o

 

06. Jika titik P(5,-7) dirotasikan sejauh 180^o dengan pusat A(3, 1) sehingga diperoleh bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’

Jawab

Diketahui P(5, –7)

Pusat A(3, 1) α = 180^o

Maka 

x’– h = (x – h) cos 180^o – (y – k)sin 180^o

x’– 3 = (5 – 3)cos 180^o – (–7 – 1)sin 180^o

x’– 3 = (2)( –1) – (–8)(0)

x’– 3 = –2 + 0

x’ = 1

y’– k = (x – h) sin 180^o + (y – k) cos 180^o

y’– 1 = (5 – 3) sin 180^o + (–7 – 1) cos 180^o

y’– 1 = (2)(0) + (–8)( –1)

y’– 1 = 0 + 8

y’– 1 = 8

y’ = 9

Jadi titiknya P’(1, 9)