Macam-Macam Transformasi (Refleksi dan Dilatasi)

3. Transformasi Pencerminan (Refleksi)

Segitiga ABC pada gambar di samping dicerminkan terhadap garis tertentu menjadi segitiga A’B’C’. Pada pencerminan ini segitiga asal ABC akan berhadapan dengan segitiga bayangan A’B’C’.
Transformasi yang berciri demikian dinamakan pencerminan atau tranformasi.

Terdapat beberapa macam jenis pencerminan, tergantung pada posisi garis cerminnya, yaitu:

a. Pencerminan terhadap sumbu x

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu X, maka dirumuskan :
x’ = x
y’ = –y

Misalkan titik P(5, 2) dicerminkan terhadap sumbu X, maka bayangannya adalah P’(5, -2)


b. Pencerminan terhadap sumbu Y

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap sumbu Y, maka dirumuskan :
x’ = –x
y’ = y

 Misalkan titik P(-4, 3) dicerminkan terhadap sumbu Y, maka bayangannya adalah P’(4, 3)

c. Pencerminan terhadap garis x = a

Misalkan P’(x, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis x = a maka dirumuskan :
x’ = 2a –x
y’ = y
Misalkan titik P(-3, 4) dicerminkan terhadap garis x = 2, maka bayangannya adalah P’(7, 4)

d. Pencerminan terhadap garis y = b

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = b, maka dirumuskan :
x’ = x
y’ = 2b – y
Misalkan titik P(3, 8) dicerminkan terhadap garis y = 3, maka bayangannya adalah P’(3, -2)


e. Pencerminan terhadap garis y = x

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = x, maka dirumuskan :
x’ = y
y’ = x

Misalkan titik P(4, 2) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah P’(2, 5)


f. Pencerminan terhadap garis y = –x

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = –x, maka dirumuskan :
x’ = –y
y’ = –x

 Misalkan titik P(-6, 3) dicerminkan terhadap garis y = x, maka bayangannya adalah P’(-3, 6)

g. Pencerminan terhadap garis y = x + a

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = x + a, maka dirumuskan :
x’ = y – a
y’ = x + a
Misalkan titik P(3, 1) dicerminkan terhadap y = x + 4, maka bayangannya adalah P’(-3, 7)

h. Pencerminan terhadap garis y = –x + a

Jika (x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap garis y = –x + a, maka dirumuskan :
x’ = –y + a
y’ = –x + a
Misalkan titik P(6, 2) dicerminkan terhadap y = –x + 3, maka bayangannya adalah P’(1, -3)


i. Pencerminan terhadap titik asal

Misalkan P’(x’, y’) merupakan bayangan hasil pencerminan titik P(x, y) terhadap titik O(0, 0) maka dirumuskan :
x’ = –x
y’ = –y

Misalkan titik P(–5, 3) dicerminkan terhadap titik asal, maka bayangannya adalah P’(5, –3)


Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

02. Tentukanlah bayangan titik A(4, 3) oleh pencerminan terhadap garis y = –1
Jawab
Misalkan A’(x’,y’) adalah bayangan titik A(4,3) oleh pencerminan terhadap garis y = –1
Maka :
x’ = x = 4
y’ = 2(–1) – y
    = –2 – 3
    = –5
Jadi bayangannya adalah A’(4, –5)

03. Jika titik A(5, –3) dicerminkan terhadap garis x = a maka diperoleh bayangan titik A’(1, –3). Tentukanlah nilai a
Jawab
Misalkan A’(1, –3) adalah bayangan titik A(5, –3) oleh pencerminan terhadap garis x = a
Maka :
x’ = 2a – x
1 = 2a – 5
1 + 5 = 2a
2a = 6
Jadi a = 3

04. Sebuah titik A(x, y) dicerminkan terhadap garis y = –x sehingga diperoleh bayangan A’(–5, 3). Tentukan koordinat titik A
Jawab

4. Transformasi Perkalian (Dilatasi)

Sebuah garis AB seperti pada gambar di samping didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala 2 sehingga didapat bayangan garis A’B’. Pada dilatasi ini garis A’B’, panjangnya menjadi dua kali panjang garis AB.

Transformasi yang berciri demikian dinamakan perkalian atau dilatasi.
Sebuah titik P(x, y) didilatasi dengan pusat O(0, 0) dan skala k akan menghasilkan bayangan P’(x’, y’) dimana :
x’ = k.x
y’ = k.y

Sedangkan jika titik P(x, y) didilatasi dengan pusat A(m, n) dan skala k akan menghasilkan bayangan P’(x’, y’)
dimana :
x’ = k(x – m) + m
y’ = k(y – n) + n

Rumus di atas didapat dengan melakukan pergeseran titik pusat dari titik A(m, n) ke titik O(0, 0) dan kembali ke A(m, n)

Untuk pemantapan lebih lanjut, ikutilah contoh soal berikut ini

01. Titik P(2, -5) diperbesar dengan skala -3 dan pusat A(1, 3) sehingga didapat bayangan P’. Tentukanlah koordinat P’
Jawab
Misalkan P’(x’, y’) adalah bayangan titik P(2, –5) oleh dilatasi dengan pusat A(1, 3) dan skala –3
dimana :
x’ = k(x – m) + m
x’ = –3(2 – 1) + 1
x’ = –2

 y’ = k(y – n) + n
y’ = –3(–5 – 3) + 3
y’ = 27
Jadi titik bayangannya P’(–2, 27)

02. Sebuah titik P(2, –5) diperbesar dengan skala k dan pusat A(3, 2) sehingga didapat bayangan P’(–1, 26). Tentukanlah nilai k
Jawab