Induksi Matematika

1. Induksi Matematika pada Pembuktian Rumus

Dalam kehidupan sehari hari, kita sering mengambil suatu kesimpulan berdasarkan data-data yang sudah ada.
Kesimpulan tersebut belum valid, karena masih bersifat dugaan (hipotesa)
Kesimpulan akan lebih valid jika hipotesa tersebut diuji berdasarkan fakta yang sudah ada. Cara seperti ini merupakan inti dari prinsip induksi

Langkah langkah pembuktian rumus dengan induksi matematika :
(1) Langkah mengambil data (base case)
- Ambil beberapa data (n = 1, 2, 3, … )
- Tetapkan kesimpulan sementara /hipotesa (rumus dianggap benar untuk n= k)
(2) Langkah menguji hipotesa (inductive step)
- Rumus diuji dengan pengambilan n = k + 1
Atau Rumus diuji dengan rumus lain yang sudah valid

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini

01. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa 7²ⁿ⁺¹ +1 habis dibagi 8 untuk n bilangan asli
Jawab

2. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli
Jawab
Untuk n = 1, diperoleh 1(1 + 1)(1 + 2) = 6 habis dibagi 3 (terbukti)
Untuk n = 2, diperoleh 2(2 + 1)(2 + 2) = 24 habis dibagi 3 (terbukti)
Untuk n = 3, diperoleh 3(3 + 1)(3 + 2) = 60 habis dibagi 3 (terbukti)
Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya
k(k + 1)(k + 2) habis dibagi 3 (hipotesa)
Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya
[k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) juga habis dibagi 3
Tinjau : [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) = (k+1)(k+2)(k+3)
                                                             = (k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3
Karena (k+1)(k+2)k habis dibagi 3 (menurut hipotesa) dan (k+1)(k+2)3 juga habis dibagi 3 maka 81((k+1)(k+2)k + (k+1)(k+2)3 habis dibagi 3
Sehingga [k+1]( [k+1] + 1)( [k+1] + 2) habis diabgi 3
Jadi terbukti bahwa n(n + 1)(n + 2) habis dibagi 3 untuk n bilangan asli

08. Buktikanlah bahwa untuk n ≥ 4 dan n bilangan asli berlaku 3ⁿ > n³
Jawab
Ambil n = 4 maka
3⁴ > 4³ artinya 81 > 64 (bernilai benar)
Ambil n = 5 maka
3⁵ > 5³ artinya 243 > 125 (bernilai benar)
Ambil n = 6 maka
3⁶ > 6³ artinya 729 > 216 (bernilai benar)

Disimpulkan sementara (hipotesis), bahwa
Untuk n = k maka
3^k > k³ untuk setiap k bilangan asli dan k ≥ 4
Akan dibuktikan bahwa Untuk n = k + 1 maka
3^k+1 > (k+1)³

2. Induksi Matematika pada Pembuktian Rumus


Langkah-langkah pembuktian :
(1) Tunjukkan bahwa rumus S(n) benar untuk n = 1, 2, 3
(2) Anggap bahwa rumus S(n) benar untuk n = k
(3) Akan dibuktikan bahwa rumus Sn benar untuk n = k + 1

Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini

01. Dengan induksi matematika buktikanlah rumus 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n(2n + 1)
Jawab
Untuk n = 1, diperoleh 3 = 1(2[1] + 1) = 3 (terbukti)
Untuk n = 2, diperoleh 3 + 7 = 2(2[2] + 1) = 10 (terbukti)
Untuk n = 3, diperoleh 3 + 7 + 11 = 3(2[3] + 1) = 21 (terbukti)

Dari data diatas anggap bahwa rumus benar untuk n = k, artinya
3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) = k(2k + 1) adalah benar (hipotesa)
Akan dibuktikan bahwa rumus juga benar untuk n = k + 1, artinya
3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1) = [k+1](2[k+1] + 1)
Bukti:
Ruas Kiri = 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4k – 1) + (4[k+1] – 1)
                = k(2k + 1) + (4[k+1] – 1)
                = 2k² + k + 4k + 4 – 1
                = 2k² + 5k + 3
                = (k + 1)(2k + 3)
                = (k + 1)(2k + 2 + 1)
                = (k + 1)(2[k+1] + 1) = Ruas Kanan (terbukti)

Jadi terbukti rumus 3 + 7 + 11 + 15 + … + (4n – 1) = n(2n + 1)

^{02. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa :}

03. Dengan induksi matematika buktikanlah bahwa :