Fungsi Sasaran dan Kendala dalam Program Linier

Salah satu hal penting dalam menyelesaikan program linier adalah menyusun model matematika. Model matematika merupakan sistem persamaan atau pertidaksamaan linier yang diambil dari suatu soal cerita. Model matematika ini terdiri dari dua bagian, yakni bagian kendala (biasanya berbentuk pertidaksamaan) yang merupakan keterbatasan aspek dalam masalah program linier, dan fungi objektif (fungsi sasaran) yang dipakai untuk menentukan nilai optimum (maksimum atau minimum)

Untuk lebih jelasnya akan diuraikan dalam contoh soal berikut :

01. Suatu jenis makanan ternak membutuhkan 5 kg daging dan 3 kg tepung. Makanan ternak jenis lain membutuhkan 6 kg daging dan 8 kg tepung. Jika tersedia daging 60 kg dan tepung 48 kg, sedangkan bahan yang lain cukup tersedia, maka model matematikanya adalah …
Jawab
Misalkan x = banyaknya makanan ternak jenis pertama
y = banyaknya makanan ternak jenis kedua
maka model matemaikanya dapat ditentukan dengan bantuan tabel

Dari tabel di atas dapat disusun kendala, yakni : 5x + 6y ≤ 60
3x + 8y ≤ 48
x ≥ 0
y ≥ 0

02. Seorang pedagang mainan ingin membeli mainan untuk persediaan di tokonya maksimum 100 paket. Mainan yang akan dibeli adalah jenis A dengan harga Rp 6.000 perpaket dan jenis B seharga Rp. 8.000 perpaket. Uang yang tersedia untuk modal adalah Rp. 720.000. Jika keuntungan mainan jenis A sebesar Rp. 2.000 perpaket dan mainan jenis B sebesar Rp. 1500 perpaket maka tentukanlah model matematikanya agar keuntungannya makasimum
Jawab
Misalkan
x = banyaknya mainan jenis A
y = banyaknya mainan jenis B
maka model matemaikanya dapat ditentukan sebagai berikut :
Bagian Kendala : x + y ≤ 100
                            6000x + 8000y ≤ 720000
                            x ≥ 0
                            y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
x + y ≤ 100
3x + 4y ≤ 360
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi sasaran atau objektifnya adalah : f(x,y) = 2000x + 1500y

03. Seorang pedagang ikan menggunakan sepeda motor untuk berkeliling menjual ikan mas dan ikan mujair. Harga beli ikan mas adalah Rp. 15.000 per kg dan dijual seharga Rp. 18.000 per kg, sedangkan ikan mujair dibeli dengan harga Rp. 12.000 per kg. dan dijual Rp 15.000 per kg. Modal yang tersedia hanya Rp. 300.000 sedangkan sepeda motornya hanya dapat mengangkut tidak lebih dari 40 kg.
tentukanlah model matematikanya untuk mendapatkan laba sebesar-besarnya

Jawab
Misalkan
x = banyaknya ikan mas
y = banyaknya ikan mujair
maka model matemaikanya dapat ditentukan sebagai berikut :
Bagian Kendala :
15000x + 12000y ≤ 300000
x + y ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
5x + 4y ≤ 100
x + y ≤ 40
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi objektifnya adalah : f(x,y) = (18000 – 15000)x + (15000 – 12000)y
 atau bisa disederhanakan menjadi: f(x,y) = 3000x + 3000y

04. Seorang penjahit pakaian akan membuat dua macam pakaian dari bahan katun dan tetoron. Untuk membuat pakaian jenis pertama diperlukan 1 m katun dan 0,8 m tetoron. Untuk pakaian jenis kedua diperlukan 0,5 m katun dan 0,2 m tetoron. Tersedia bahan katun sebanyak 140 m dan tetoron 96 m. Jika keuntungan tiap pakaian jenis pertama Rp. 50.000, dan jenis kedua Rp. 40.000 maka model matematikanya adalah …
Jawab
Misalkan
x = banyaknya pakaian jenis I
y = banyaknya pakaian jenis II
maka model matemaikanya dapat ditentukan sebagai berikut :

Dari tabel di atas dapat disusun kendala, yakni :
x + 0,5y ≤ 140
0,8x + 0,2y ≤ 96
x ≥ 0
y ≥ 0
Jika disederhanakan menjadi :
2x + y ≥ 280
4x + y ≥ 480
x ≥ 0
y ≥ 0
Fungsi objektifnya adalah : f(x,y) = 50000x + 40000y